Ο Αριστοτέλης Βρυωνίδης αποφοίτησε το 1985 από την Νομική Σχολή του Εθνικού Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών και από τις αρχές του 1987 κατέχει την άδεια εξασκήσεως του δικηγορικού επαγγέλματος. Έκτοτε είναι μέλος του Δικηγορικού Συλλόγου Λευκωσίας και του Παγκύπριου Δικηγορικού Συλλόγου.
Από το 1991 ίδρυσε το δικό του δικηγορικό γραφείο το οποίο το 2013 στεγάστηκε κάτω από τη δικηγορική εταιρεία που ιδρύθηκε με επωνυμία Α. ΒΡΥΩΝΙΔΗΣ & ΣΥΝΕΡΓΑΤΕΣ Δ.Ε.Π.Ε.
Κατά τη διάρκεια της μακράς δικηγορικής του καριέρας ο Αριστοτέλης Βρυωνίδης έχει να επιδείξει πλούσιο έργο στην διεκπεραίωση πληθώρας υποθέσεων τόσο δικαστηριακού όσο και εξωδικαστηριακού περιεχομένου.
Ασχολείται κυρίως με θέματα που άπτονται του Οικογενειακού, του Αστικού, του Διοικητικού, του Ποινικού και του Εταιρικού Δικαίου. Επίσης έχει εκτενέστατη εμπειρία στην κατάρτιση και διαπραγμάτευση συμβάσεων και την παροχή νομικών συμβουλών, αφού εκπροσωπεί ως νομικός σύμβουλος σημαντικό αριθμό κυπριακών εταιρειών και άλλων νομικών οντοτήτων.
Επιπρόσθετα, έχει να επιδείξει αξιόλογο έργο στον τομέα της αθλητικής δικαιοσύνης και συγκεκριμένα τον χώρο του ποδοσφαίρου, αφού από το 1993 παρέχει τις υπηρεσίες του στην Κυπριακή Ομοσπονδία Ποδοσφαίρου (ΚΟΠ) από διάφορες θέσεις. Υπηρέτησε ως Πρόεδρος της Πειθαρχικής Επιτροπής του γυναικείου ποδοσφαίρου και του ποδοσφαίρου κλειστού χώρου. Ακολούθως, διορίστηκε ως επικεφαλής Πειθαρχικός Εισαγγελέας της ΚΟΠ, ενώ από το 2015 υπηρετεί από τη θέση του Αθλητικού Δικαστή της ΚΟΠ.